Montrer que la partie entière de a=(3+√5)n est un entier impair quelquesoit l’entier n dans ℕ.
On peut faire des essais dans le tableur.
Dans A0 on met 1
Dans A1 on met =A0*(3+sqrt(5))
Dans B0 on met =floor(A0)
Dans B1 on met =floor(B1)
Puis on remplit vers le bas.
Dans cet exercice il faut penser à associer à
(3+√5)n sa quantité conjuguée (3−√5)n.
Dans C0 on met 1
Dans C1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Dans D0 on met =floor(A0+C0)
Dans D1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Puis on remplit vers le bas.
On remarque que :
b=(3+√5)n+(3−√5)n est un entier pair (d’après la formule du
binôme) et que 0<(3−√5)n<1.
On a donc a<b<a+1, ou encore b−1<a<b avec b un entier pair.
Cela prouve que la partie entière de a=(3+√5)n est b−1
qui est un entier impair.
Quel est, parmi les entiers naturels de 1 à 2005, celui qui admet le plus de diviseurs ? Quel est ce nombre de diviseurs ?
On tape :
2*3*5*7
On obtient :
210
On tape :
2*3*5*7*11
On obtient :
2310
Cela nous dit que le nombre est de la forme :
2a*3b*5c*7d avec a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0
et alors son nombre de diviseurs est :
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)
On peut maintenant faire une recherche systématique :
Il semble qu’il faut supposer que d ≠ 0 car avec
- b=0,c=0, d=0 on ne peut avoir que 210 qui n’a que 11 diviseurs,
- c=0,d=0 (a+1)(b+1)
vaut 20 pour a=9 et b=1 (29*3=1536)
vaut 28 pour a=6 et b=3 (26*33=1728)
- d=0 (a+1)(b+1)(c+1)
vaut 32 pour a=7, b=1 et c=1 (27*3*5=1920)
vaut 36 pour a=5, b=2 et c=1 (25*32*5=1444)
- si d ≠ 0
On tape :
210*6
On obtient :
1260
et 1260 admet 3*3*2*2=36 diviseurs ou on tape :
size(idivis(1260)
On obtient :
36
On tape :
210*8
On obtient :
1680
et 1680 admet 5*2*2*2=40 diviseurs ou on tape :
size(idivis(1680)
On obtient :
40
On fait une recherche systématique :
210=1024 a 11 diviseurs,
29*3=1536 a 20 diviseurs,
27*32=1116 a 24 diviseurs,
26*33=1728 a 28 diviseurs,
24*34=1296 a 25 diviseurs,
27*3*5=1920 a 32 diviseurs,
25*32*5=1440 a 24 diviseurs,
24*3*5*7=1680 a 40 diviseurs.
1/ Trouver le plus petit nombre entier n qui admet exactement 50 diviseurs.
2/ Existe-t-il un entier m qui soit inférieur à n et qui admette plus
de 50 diviseurs ?
On sait que si n=ap*bq*cr le nombre de diviseurs de n est
(p+1)(q+1)(r+1).
On a :
50=1*50=2*25=10*5=2*5*5
1/ On cherche le plus petit nombre entier qui admet exactement 50 diviseurs,
donc les candidats sont :
249
224*3
29*34
24*34*5
C’est donc 6480=24*34*5
On tape :
size(idivis(6480))
On obtient :
50
2/ On doit avoir :
m<24*34*5 donc pour qu’il est plus que 50 diviseurs il faut que m soit de
la forme m=2p*3q*5r*7s avec p<=4,q<4,r=1,s=1 et 4(p+1)(q+1)>50.
Essayons p=4,q=2, on a 4(p+1)(q+1)=60>50 et m=24*32*5*7=5040.
Donc m= répond à la question.
Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour obtenir un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ?
Réponse niveau primaire
On peut faire une multiplication à trous :
49*.........=..999999999 |
On trouve :
49*693877551=33999999999 |
Réponse niveau collège
On a 9999999999=109−1 et le résultat de la multiplication doit être de
la forme n*109+109−1 avec 0≤ n<49 (ou de la forme p*109−1)
avec 0< p ≤ 49).
On utilise le tableur en cherchant n pour que :
n*109+109−1 soit divisible par 49.
On utilisera les commandes irem(a,b) et iquo(a,b) qui renvoient
respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de a
par b.
Pour cela on met dans la première colonne les nombres de 0 à 48, puis dans
la deuxième colonne les nombres n*109+109−1 pour n de 0 à 48.
Dans la troisième colonne on calcule le reste de la division de la deuxième
colonne par 49 et on trouve que pour n=33 ce reste est nul.
Il reste à calculer iquo(33*10^
9+10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551 |
Mais cette méthode est très couteuse !
On peut aller un peu plus vite (surtout si on veut faire les calculs à la
main en remarquant que 10=3 mod7 et que 100=2 mod49 donc :
103=−1 mod7
106=1 mod7
109=−1 mod7
108=24=16 mod49
109=13 mod49
13*−7=7 mod49
On cherche a tel que a*109=49*k+1=7*p+1.
donc −a=1 mod7 et 13*a=1 mod49
Si a=48 on a 13*a=−13=36 mod49
Si a=41 on a 13*a=13*−1+13*−7=−13+7=−6 mod49
Si a=34 on a 13*a=13*−1+13*−7+13*−7=1 mod49
Donc 34*109=1 mod49
Il reste à calculer iquo(34*10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551 |
Réponse niveau TS
On a : 999999999+1=109.
On cherche p pour avoir : p*49=a*109−1 c’est à dire
1=a*109−p*49.
Avec Xcas on tape :
bezout_entiers(49,10^
9)
On obtient :
[306122449,-15,1]
Donc :
49*306122449−15*109=1
et puisque 49*109−49*109=0, on a :
49*(109−306122449)+(15−49)*109=−1.
Puisque 109−306122449=693877551 et (49−15)=34, on a :
49*693877551=34*109−1=33999999999 |
Pour faire les calculs à la main on écrit :
109=13 mod49
donc on écrit les 2 premières équations :
0*13+1*49=49 |
1*13+0*49=13 |
puisque 49=3*13+10 on soustrait 3 fois l’équation 2 à l’équation 1 et on obtient l’équation 3 :
−3*13+1*49=10 |
puisque 13=1*10+3 on soustrait l’équation 3 à l’équation 2 et on obtient l’équation 4 :
4*13−1*49=3 |
puisque 10=3*3+1 on soustrait 3 fois l’équation 4 à l’équation 3 et on obtient l’idendité de Bézout :
−15*13+4*49=1 |
On a −15=34 mod49 et 109=13 mod49 donc
34*109−1 est divisible par 49.
Il reste à calculer iquo(34*10^
9-1,49) et on
trouve :
693877551 |
Résoudre en nombres entiers :
13x+5y=1 |
5x+13y=6 |
Avec Xcas on tape :
bezout_entiers(13,5)
On obtient :
[2,-5,1]
Donc 2*13−5*5=1.
et puisque k*13*5−k*13*5=0, on a :
13*(2+5k)−(5+13k)*5=1.
13x+5y=1 a donc comme solutions x=2+5k,y=−5−13k avec k dans ℤ.
En multipliant l’égalité 13*(2+5k)−(5+13k)*5=1 par 6 on a :
13*(12+30k)−(30+78k)*5=6
5x+13y=6 a donc comme solutions x=−30−78k,y=12+30k avec k dans ℤ.
Trouver les 2 derniers chiffres de 1996919969.
Ici, on est sûr que le dernier chiffre est 9, puisque 19969 est un nombre
impair.
On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de
69n.
Cela nous montre que 6910k=1 et que 6910k−1=29.
Donc les 2 derniers chiffres de 1996919969 sont 29.
On peut aussi taper directement pour vérifier :
irem(19969^
19969,100)
Trouver les 2 derniers chiffres de 1999619996.
Ici, on est sûr que le dernier chiffre est 6.
On peut utiliser le tableur pour chercher les 2 derniers chiffres de
96n.
Cela nous montre que 965k+1=96.
Donc les 2 derniers chiffres de 1999619996 sont 96.
On peut aussi taper directement pour vérifier :
irem(19996^
19996,100)