Algebra::Polynomial / Algebra::PolynomialFactorization

Algebra::Polynomial

(1変数多項式環クラス)

1変数の多項式環を表現します。実際のクラスを生成するには環を指定して、クラスメソッド ::create あるいは関数 Algebra.Polynomial() を用います。

ファイル名:

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連するメソッド:

Algebra.Polynomial(ring [, obj0 , obj1 [, ...]])

::create(ring, obj0[, obj1 [, ...]])> に同じ。

クラスメソッド:

::create(ring, obj0[, obj1[, ...]])

ring で表現されるクラスを係数環とする多項式環クラスを 生成します。

obj0, obj1, ... で指定されたオブジェクトが変数を 表現し、これが複数ならば、再帰的に多項式環上の多項 式環を生成します。

このメソッドの戻り値は Polynomial クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして groundvarvars が定義され、それぞれ、係数環 ring、 主変数オブジェクト(最後に指定された変数)、全ての変数オ ブジェクトを返します。

オブジェクトobj0, obj1, ...は変数の名(to_sの値) に利用されるだけです。

例: 整数を係数とする多項式環の生成

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial.create(Integer, "x")
x = P.var
p((x + 1)**100) #=> x^100 + 100x^99 + ... + 100x + 1
p P.ground #=> integer

例: 整数を係数とする複数変数多項式環の生成

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial.create(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
p((-x + y + z)*(x + y - z)*(x - y + z))
#=> -z^3 + (y + x)z^2 + (y^2 - 2xy + x^2)z - y^3 + xy^2 + x^2y - x^3
p P.var #=> z

この例の P

Algebra::Polynomial.create(
  Algebra::Polynomial.create(
    Algebra::Polynomial.create(
      Integer,
    "x"),
  "y"),
"z")

と同値で、最後の変数 z が主変数となります。

::var

多項式環の変数(主変数)を返します。

::vars

再帰的に各多項式環の変数を集めた配列を返します。

::mvar

::vars と同じです。

::variable

変数(主変数)を表現するオブジェクトを返します。

::variables

再帰的に各多項式環の変数を表現するオブジェクトを 集めた配列を返します。

::indeterminate(obj)

obj で表現される変数を再帰的に探して返します。

::monomial([n])

n 次の単項式を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
P.monomial(3) #=> x^3
::const(c)

c の定数項を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
P.const(3)      #=> 3
P.const(3).type #=> P
::zero

零元を返します。

::unity

単位元を返します。

メソッド:

var

::var と同じです。

variable

::variable と同じです。

each(&b)

各次の係数を昇冪順に繰り返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(x**3 + 2*x**2 + 4).each do |c|
  p c #=> 4, 0, 2, 1
end
reverse_each(&b)

各次の係数を降冪順に繰り返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(x**3 + 2*x**2 + 4).reverse_each do |c|
  p c #=> 1, 2, 0, 4
end
[n]

n 次の係数を返します。

[n] = v

n 次の係数をvに設定します。

monomial

::monomial と同じです。

monomial?

単項式であるとき真を返します。

zero?

零元であるとき真を返します。

zero

零元を返します。

unity

単位元を返します。

==(other)

等しいとき真を返します。

<=>(other)

大小関係を求めます。

+(other)

和を計算します。

-(other)

差を計算します。

*(other)

積を計算します。

**(n)

n 乗を計算します。

/(other)

商を計算します。divと同じです。

divmod(other)

other で割った商と余りの配列を返します。

div(other)

other で割った商を返します。divmod(other).first と一致します。

%(other)

other で割った余りを返します。divmod(other).last と一致します。

divide?(other)

other で割り切れるとき真を返します。 divmod(other).last == zero?と一致します。

deg

次数を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(5*x**3 + 2*x + 1).deg #=> 3
lc

先頭係数(leading coeffcient)を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lc #=> 5
lm

先頭単項式(leading monomial)を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lm #=> x**3
lt

先頭項(leading term)を返します。lc * lmと等しい値を持ちます。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lt #=> 5*x**3
rt

残余項(rest term)を返します。self - ltと等しい値を持ちます。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).rt #=> 2*x + 1
monic

最高次係数を1に直した式を返します。self / lc と同じ値を持 ちます。

cont

係因数(content(全ての係数の最大公約数))を返します。

pp

原始的部分(primitive part)を返します。self / contと 同じ値を持ちます。

to_s

文字列表現を得ます。表示形式を変えるには display_type を用います。 display_type に与えられる値は :norm(デフォルト), :code です。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
p 5*x**3 + 2*x + 1 #=>5x^3 + 2x + 1
P.display_type = :code
p 5*x**3 + 2*x + 1 #=> 5*x**3 + 2*x + 1
derivate

微分した値を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).derivate #=> 15*x**2 + 2
sylvester_matrix(other)

other とのシルベスター行列を返します。

resultant(other)

other との集結式返します。予め

project(ring[, obj]){|c, n| ... }

各次 n の係数 c に関して ... を評価し、その値を c*x**n の値に置き換え ring 上で和を取った値を 返します。obj が省略されると ring.var が用いら れます。

例:

require "polynomial"
require "rational"
P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
PQ = Algebra::Polynomial(Rational, "y")
x = P.var
f = 5*x**3 + 2*x + 1
p f.evaluate(-1) #=> -6
p f.convert_to(PQ) #=> 5y^3 + 2y + 1
p f.project(PQ) {|c, n| Rational(c) / (n + 1)} #=> 5/4y^3 + y + 1
evaluate(obj)

変数に obj を代入した値を返します。 project(ground, obj){|c, n| c} の値と一致します。

call(obj)

evaluateと同じです。

convert_to(ring)

各項をring上で評価します。 project(ring){|c, n| c} の 値と一致します。

Algebra::PolynomialFactorization

(因数分解モジュール)

因数分解をするためのモジュールです。

ファイル名:

polynomial-factor.rb

メソッド:

sqfree

無平方化します。

sqfree?

無平方なら真を返します。

irreducible?

既約なら真を返します。

factorize

因数分解します。

因数分解可能な係数環は

です。